Question

（本小题满分14分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面， 平面平面.   ……………………5分

解法一：（Ⅱ）连接，平面，

是直线在平面上的射影.     ……………………………5分

，四边形是菱形..   …………………7分

.        ………………………………………9分

（Ⅲ）过点作交于点，连接.

，平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

设，则，

....

平面，平面，..

在中，可求.

∵，∴.∴.

.   ………………………………………13分

.∴二面角的大小为.   ……………14分

解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.

设，由，得

………………………………………7分

.  又..

.                                         …………………………………9分

（Ⅲ）设平面的法向量为.

则∴.

设平面的法向量为.则

∴.       ………………………………………12分

.             ……………………………13分

二面角的大小为.      …………………………………14分