Question

某企业自2012年1月1日起正式投产，环保监督部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放的污水量进行了三个月的监测，监测的数据如表，并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放的污水量将成等比数列．

月　　份	1月	2月	3月
该企业向湖区排放的污水量（单位：万立方米）	1	2	4

（1）如果不加以治理，求从2012年1月起，m个月后，该企业总计向湖区排放了多少万立方米的污水；
（2）为保护环境，当地政府和企业从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，当企业的污水排放量为零后，再以每月25万立方米的速度处理湖区中的污水．请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米．

Answer 1

分析：（1）企业每月向湖区排放的污水量成等比数列{a_n}，且a₁=1，q=2，则可求排放的污水量；
（2）由题意，企业每月向湖区排放的污水量成等差数列{b_n}，b₁=28，d=-4，则b_n可求，令b_n=0，知企业停止污水排放，再求出企业总共排出的污水量，从而得湖区污水不多于50万立方米．

解答：解：（1）每月污水排放量构成等比数列{a_m}，且 a₁=1，q=2…（2分）
∴Sm=

a1(1-qm)

1-q

=

1-2m

1-2

=2m-1…（4分）
（2）设治理后每月污水扥排放量构成的数列为{b_n}，由已知它构成等差数列
其中，b1=a6-4=25-4=28…（5分）
则b_n=b₁+（n-1）d=28+（-4）•（n-1）=-4n+32…（6分）
当b_n=0时，n=8故到2013年2月排放量为0　　　　　…（7分）
此时湖中共有污水a1+a2+…+a6+b1+b2+…+b8=

1-26

1-2

+

(28+0)×8

2

=175…（10分）
则治理t个月后175-25t≤50，t≥5…（12分）
到2013年6月时湖中的污水不多于50万立方米　　　…（13分）

点评：本题考查了等差，等比数列的实际应用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．