Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinα-2，-cosα），$\overrightarrow{n}$=（-sinα，cosα），其中α∈R．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求角α；
（2）若|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得角α；
（2）运用向量的平方即为模的平方，求得sinα，再由二倍角公式即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（sinα-2，-cosα），$\overrightarrow{n}$=（-sinα，cosα），
若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，即为-sinα（sinα-2）-cos²α=0，
即sinα=$\frac{1}{2}$，可得α=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z；
（2）若|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，即有（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）²=2，
即（2sinα-2）²+（2cosα）²=2，
即为4sin²α+4-8sinα+4cos²α=2，
即有8-8sinα=2，可得sinα=$\frac{3}{4}$，
即有cos2α=1-2sin²α=1-2×$\frac{9}{16}$=-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用，属于中档题．