Question

，设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则．
（i）f（

3

2

）=

 

；
（ii）设S为f（x）=0在区间[0，20]内的所有根之和，则S的最小值为

 

．

Answer 1

分析：（i）利用奇函数定义和周期函数性质解之；
（ii）通过求f（x）一个周期内使f（x）=0的所有根，进而求出[0，20]内的所有根之和．

解答：解：（i）因为f（x）是R上的以3为周期的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），f（x+3）=f（x），
则f（-

3

2

）=-f（

3

2

）且f（-

3

2

）=f（-

3

2

+3）=f（

3

2

），
所以-f（

3

2

）=f（

3

2

），
解得f（

3

2

）=0．
（ii）因为f（x）R上以3为周期的奇函数且f（2）=0，
所以f（1）=-f（-1）=-f（-1+3）=-f（2）=0
所以在x∈[0，3]一个周期内至少有f（0）=0，f（1）=0，f（

3

2

）=0，f（2）=0，f（3）=0，
所以在区间[0，20]内f（x）=0至少有根0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，6，…，17，18，19，

39

2

，20．
所以S_min=

20(1+20)

2

+

7( 3 2 + 39 2 )

2

=283.5

点评：本题主要考查函数的周期性和奇偶性，同时考查等差数列求和．