(1)求PC与平面PBD所成角的大小;
(2)求的值;
(3)求四棱锥P—ABCD夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积.
(1)解:在平面ABCD内作CG⊥BD于G,连PG,
∵PD⊥平面ABCD,CG平面ABCD,
∴PD⊥CG.
∴CG⊥面PBD.
∴∠CPG就是PC与面PBD所成的角.
在Rt△BCD中,CG==,又PC=2,
故在Rt△PGC中,sin∠CPG==.
又∵∠CPG为锐角,∴∠CPG=arcsin.
∴PC与面PBD所成的角为arcsin.
(2)解法一:设平面ADE与PC交于点F,连DF、EF,
∵PC⊥面ADE,DF平面ADE,
∴PC⊥DF.
又∵PD=DC,∴F为PC的中点.
∵BC∥AD,BC平面ADE,
∴BC∥平面ADE.
又平面ADE∩平面PBC=EF,
∴BC∥EF.
∴E为PB的中点,故=1.
解法二:建立如图的空间直角坐标系O—xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,,0),C(0, ,0),P(0,0,),
=(2,,), =(0,,).
设=λ,则=λ=(2λ,λ,λ),
∴=+=(2λ, λ,-λ).
由PC⊥平面ADE,可知PC⊥DE,
∴·=0,即12λ-12(1-λ)=0,解得λ=,即PE=PB.
∴=1.
(3)解:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.
又AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC.
又DF平面PDC,∴AD⊥DF.
∵EF∥BC,BC∥AD,∴EF∥AD.
又PF⊥平面ADEF,EF=BC=1,DF=DC=,
∴VP—DAEF=××=3.
又VP—ABCD=×(2×)×=8,
∴V=VP—ABCD-VP—DAEF=5,
即四棱锥P—ABCD夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积为5.
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科目:高中数学 来源:2009-2010学年广东省揭阳市高中毕业班期末质量测试数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
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