Question

公比不是1的等比数列{a_n}的通项公式a_n=cosnβ，且对任意的n∈N^*都有a_n+2=a_n，则该数列的前2009项的积为

 

．

Answer 1

分析：根据等差数列的通项公式得到a_n+2等于a_nq²，而有a_n+2=a_n，得到q的平方等于1，又q不等于1得到q的值为-1，然后分别把n=1和n=2代入通项公式表示出首项和第2项，根据等比数列的性质用第2项比上第1项，等于公比q等于-1，利用二倍角的余弦函数公式化简，得到一个关于cosβ的方程，求出方程的解即可得到cosβ的值，进而得到等比数列的首项，然后根据首项和求出的公比q，列举出数列的前2009项相乘的形式方程为1005个（-1）相乘和1004个1相乘或1005个（-

1

2

）相乘和1004个

1

2

相乘，根据数列的规律，利用乘法的法则，即可得到该数列的前2009项的积．

解答：解：由a_n+2=a_nq²=a_n，
得到q²=1，又q≠1，所以q=-1，
令n=1，得到a₁=cosβ，n=2时，a₂=cos2β，
则

a2

a1

=

2cos2β -1

cosβ

=q=-1，
化简得：2cos²β+cosβ-1=0，
即（2cosβ-1）（cosβ+1）=0，
解得cosβ=

1

2

或cosβ=-1，
所以此数列前2009项分别为-1，1，-1，…，-1或

1

2

，-

1

2

，

1

2

，…，-

1

2

，
则该数列的前2009项的积为-1或-

1

22009

．
故答案为：-1或-

1

22009

点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，此题求出的公比q有两个值，所以求出的结果也有两个．