Question

对于函数 f（x） 中任意的 x₁、x₂（x₁≠x₂）有如下结论：
①f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）；           
②f（x₁+x₂）=f（x₁）?f（x₂）；
③f（-x₁）=

1

f(x1)

；     
④

f(x1)-1

x1

＜0 （x₁≠0）；     
⑤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
当 f（x）=2^x时，上述结论中正确结论的个数是（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

分析：利用指数函数的性质对①②③④⑤逐个讨论分析即可求得答案．

解答：解：①∵f（x）=2^x，
∴f（x₁•x₂）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x₁）+f（x₂），故①错误；
②f（x₁+x₂）=2x1+x2=2x1•2x2=f（x₁）•f（x₂），故②正确；
③f（-x₁）=2-x1=

1

2x1

=

1

f(x1)

，故③正确；
④∵k=y′=2^xln2＞0（k为曲线f（x）=2^x上任意两点的连续的斜率），
∴

f(x1)-1

x1

=

f(x1)-f(0)

x1-0

＞0，故④错误；
⑤由k=y′=2^xln2＞0得，k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，故⑤正确．
综上所述，当f（x）=2^x时，上述结论中正确结论的个数是②③⑤，
故选：B．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查指数函数的性质，属于中档题．