Question

对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）；②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
③（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0；④f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
当f（x）=2^-x时，上述结论中正确结论的序号是

 

写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析：利用幂的运算法则判断出①对；通过举反例判断出②错；通过函数单调性的定义判断出③对；通过基本不等式判断出④对．

解答：解：例如f（x）=2^-x
∴对于①，f（x₁+x₂）=2-(x1+x2) ，f（x₁）f（x₂）=2-x1•2-x2=2-(x1+x2)，故①对
对于②，f（x₁•x₂）=2-(x1•x2)≠2-x1+2-x2=f（x₁）+f（x₂）；
故②错
对于③，∵f(x)=2-x=(

1

2

)x为减函数，所以当x₁＞x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
对．
对于④，f(

x1+x2

2

)=

2-(x1+x2)

，

f(x1)+f(x2)

2

=

2-(x1+x2)

2

，有基本不等式，所以f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

故④对
故答案为①③④

点评：判断多个命题的正误时，需要对各个命题依次判断．利用基本不等式求最值时，需要注意：一正、二定、三相等．