Question

（2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=

4018

．

Answer 1

分析：把f（x+2）=2f（x+1）-f（x）转化后，得到此函数值构成了一个等差数列，根据题意求出首项和公差，由等差数列的通项公式求出f（2009）的值．

解答：解：由题意知，对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
则此函数的值构成了一个等差数列，首项f（1）=2，公差为

f(3)-f(1)

2

=2，
∴f（2009）=2+2008×2=4018．
故答案为：4018．

点评：本题考查了函数求值，此题通过关系式把函数值和等差数列联系在一起，把函数求值转化为数列问题，设计非常新颖，是个好题．