Question

（2009•连云港二模）求曲线y=-x³+x²+2x与x轴所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：先求出函数y=-x³+x²+2x的零点求出积分的上下限，然后从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

解答：解：令y=-x³+x²+2x=0得：
函数y=-x³+x²+2x的零点：
x₁=-1，x₂=0，x₃=2．…（4分）
又判断出在（-1，0）内，图形在x轴下方，
在（0，2）内，图形在x轴上方，
所以所求面积为：
A=-

∫

0 -1

(-x3+x2+2x)dx+

∫

2 0

(-x3+x2+2x)dx
=（

1

4

x⁴-

1

3

x³-x²）|_-1⁰+（-

1

4

x⁴+

1

3

x³+x²）|₀²
=

37

12

…（10分）

点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，同时考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．