Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）验证函数f(x)=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（2）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f(-

1

2

)=1，试解关于x的方程f(x)=-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满足f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，最后求出当x＜0时的值域，看是否满足即可；
（2）先判定函数的奇偶性，然后f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2建立f（a），f（b）的方程组，解之即可；
（3）先判定函数f（x）在（-1，1）上的单调性，然后得到2f(x)=-1?f(x)+f(x)=f(

2x

1+x2

)=f(

1

2

)，建立关于x的方程，解之即可．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
又f(x)+f(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1∴ln

1-x

1+x

＞0
故f(x)=ln

1-x

1+x

满足这些条件．
（2）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，∴f（x）为奇函数
由条件得

f(a)+f(b)=1 f(a)-f(b)=2

，解得f(a)=

3

2

，f(b)=-

1

2

．
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，则x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，

x1-x2

1-x1x2

＜0，
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∵f(-

1

2

)=1∴f(

1

2

)=-1
原方程即为2f(x)=-1?f(x)+f(x)=f(

2x

1+x2

)=f(

1

2

)，
∴

2x

1+x2

=

1

2

?x2-4x+1=0?x=2±

3

又∵x∈(-1，1)∴x=2-

3

故原方程的解为x=2-

3

．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的单调性和奇偶性的判定，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．