Question

已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(

1

x-1

)≥2．

Answer 1

分析：（1）由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论．
（2）由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，进而根据f（1）=1，得到f（2）=2，根据f（x+y）=f（x）+f（y）成立，将问题转化为一个关于x的整式不等式，进行得用根轴（标根法/穿针引线）法，解不等式得到答案．

解答：解：（1）对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
不妨设x=y=0，则f（0）=0，
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）
?f（x）+f（-x）=0
?f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（2）∵f（1）=1，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=2，
不等式化为f(x)＞f(

1

x-1

)+2?f(x)＞f(

1

x-1

)+f(2)?f(x)＞f(

1

x-1

+2)（*）
∵当x≠y时，f（x）≠f（y），
x＞0时，有f（x）＞0，
设x₂＞x₁＞0则：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=f（2x₂）+f（-x₁-x₂）=f（x₂-x₁），又x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）-f（x₁）＞0?f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，+∞）上递增，由f（x）为奇函数，
∴x＜0时必有f（x）＜0，加之f（0）=0，
于是f（x）在R上为增函数．
根据（*）式不等式化为：x＞

1

x-1

+2?（x-1）（x²-3x+1）＞0，
利用穿针线法得：
不等式的解集为：{x|

3- 5

2

＜x＜1或x＞

3+ 5

2

}．

点评：本题考查的知识点是抽象函数，函数奇偶性的判定与性质，函数单调性与性质，一元高次不等式的解法，是对函数性质及应用的综合考查，其中的函数的抽象函数奇偶性，单调性证明，不等式的转化，高次不等式的解法，均是代数中的难点，集中出现而相互转化，更是难上加难．