Question

用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x²-5x+m=0与2x²+x+6-m=0至少有一个方程有实根．

Answer 1

分析：假设关于x的方程x²-5x+m=0与2x²+x+6-m=0没有实根，则有△=25-4m＜0，且△′=1-8（6-m）=8m-47＜0．解得 m＞

25

4

，且 m＜

47

8

，矛盾，可得命题的否定不
成立，原命题得证．

解答：解：要证命题的否定为：关于x的方程x²-5x+m=0与2x²+x+6-m=0没有实根，假设关于x的方程x²-5x+m=0与2x²+x+6-m=0没有实根，
则有△=25-4m＜0，且△′=1-8（6-m）=8m-47＜0．
解得 m＞

25

4

，且 m＜

47

8

，矛盾，
故假设不正确，原命题得证．

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，应先假设要证的命题的否定成立，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．