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    3．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为$\frac{1}{3}$，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．
    （1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；
    （2）记“函数f（x）=x2-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

    分析 （1）推出ξ的可能取值为0，2，4．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
    （2）利用零点判定定理，列出不等式推出结果即可．

    解答 解：（1）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4．
    ∵“ξ=0”指的是实验成功2次，
    失败2次；∴$P（{ξ=0}）=C_4^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{1-\frac{1}{3}}）^2}=6×\frac{1}{9}×\frac{4}{9}=\frac{24}{81}$．…（2分）
    ∵“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次；$\begin{array}{l}∴P（{ξ=2}）=C_4^3{（{\frac{1}{3}}）^3}（{1-\frac{1}{3}}）+C_4^1（{\frac{1}{3}}）{（{1-\frac{1}{3}}）^3}\\ \;\;\;=4×\frac{1}{27}×\frac{2}{3}+4×\frac{1}{3}×\frac{8}{27}=\frac{40}{81}.\end{array}$…（4分）
    ∵“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次；
    ∴$P（{ξ=4}）=C_4^4{（{\frac{1}{3}}）^4}+C_4^0{（{1-\frac{1}{3}}）^4}=\frac{1}{81}+\frac{16}{81}=\frac{17}{81}$．…（6分）

    ξ024
    P$\frac{24}{81}$$\frac{40}{81}$$\frac{17}{81}$
    ∴$Eξ=0×\frac{24}{81}+2×\frac{40}{81}+4×\frac{17}{81}=\frac{148}{81}$．
    故随机变量ξ的数学期望E（ξ）为$\frac{148}{81}$．…（10分）
    （2）由题意知：f（2）f（3）=（3-2ξ）（8-3ξ）＜0，故$\frac{3}{2}＜ξ＜\frac{8}{3}$．…（14分）
    ∴$P（A）=P（\frac{3}{2}＜ξ＜\frac{8}{3}）=P（ξ=2）=\frac{40}{81}$，故事件A发生的概率P（A）为$\frac{40}{81}$．…（16分）

    点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人，120人，n人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从第三个代表队中共抽取20人在前排就坐参与抽奖，其中高二代表队有6人．
    （1）求n的值及高一、高三在前排就坐的各有多少人？
    （2）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序图执行，若电脑显示“中奖”．则该代表中奖，若电脑显示“谢谢参与”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    14．下列结论中，正确的是（　　）
    A．$\overrightarrow{0}$+$\overrightarrow{0}$=0
    B．对于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$
    C．对于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＞0
    D．若向量$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{BC}$，且$\overrightarrow{AB}$=2，|$\overrightarrow{BC}$|=2008，则|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=2010

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    11．给出下列命题：
    ①对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的充分必要条件
    ②若集合A={-1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3；
    ③函数$f（x）=lg{\frac{{{x^2}+1}}{|x|}^{\;}}$（x≠0，x∈R）的最小值为lg2；
    ④若命题“?x0∈R，使得x02+mx0+2m-3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（2，6）．
    其中真命题的序号是②③（请写出所有真命题的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为（　　）
    A．120B．119C．210D．209

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．若复数z（1-i）=2+i（i是虚数单位），则$|{\overline z}|$=（　　）
    A．$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$B．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C．$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$D．$\frac{3}{2}$

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    15．设i为虚数单位，若复数z=（m2+2m-8）+（m-2）i是纯虚数，则实数m=（　　）
    A．-4B．-4或2C．-2或4D．2

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    12．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），则sin（α-$\frac{5π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\\ y≤-nx+3n\end{array}\right.$所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）
    （1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
    （2）若数列{an}满足a1=1，${a_{n+1}}-{a_n}=f（n），（n∈{N^•}）$，求数列{an}的通项公式；
    （3）设Sn为数列{bn}的前n项的和，其中${b_n}={2^{f（n）}}$，问是否存在正整数n，t，使$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

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