Question

11．给出下列命题：
①对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx²+ny²=1的曲线是椭圆”的充分必要条件
②若集合A={-1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3；
③函数$f（x）=lg{\frac{{{x^2}+1}}{|x|}^{\;}}$（x≠0，x∈R）的最小值为lg2；
④若命题“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（2，6）．
其中真命题的序号是②③（请写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①举例说明该命题不成立即可；
②用列举法表示出集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}即可；
③根据函数$f（x）=lg{\frac{{{x^2}+1}}{|x|}^{\;}}$是定义域上的偶函数，求出它的最小值即可；
④根据命题与它的否定命题一假一真，求出实数m的取值范围即可．

解答 解：对于①，当m=-1、n=-1时，满足mn＞0，方程-x²-y²=1不表示任何图形，∴①错误；
对于②，当集合A={-1，1}，B={0，2}时，集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={-1，1，3}，
其元素个数为3，∴②正确；
对于③，函数$f（x）=lg{\frac{{{x^2}+1}}{|x|}^{\;}}$=lg（|x|+$\frac{1}{|x|}$）（x≠0，x∈R）是偶函数，且最小值为lg2，∴③正确；
④命题“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”为假命题，
则“?x∈R，x²+mx+2m-3≥0”为真命题，
∴△=m²-4（2m-3）≥0，
解得m≤2或m≥6，
∴实数m的取值范围是m≤2，m≥6，④错误；
综上，其中真命题的序号②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了集合的应用问题，考查了函数的奇偶性与最值问题，
是基础题目．