Question

20．若曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=$\frac{1}{2e}$x²在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则$\frac{s}{t}$=2$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值．

解答 解：曲线y=alnx的导数为：y′=$\frac{a}{x}$，在P（s，t）处的斜率为：k=$\frac{a}{s}$，
曲线y=$\frac{1}{2e}$x²的导数为：y′=$\frac{x}{e}$，在P（s，t）处的斜率为：k=$\frac{s}{e}$．
由曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=$\frac{1}{2e}$x²在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，
可得$\frac{a}{s}=\frac{s}{e}$，并且t=$\frac{{s}^{2}}{2e}=alns$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{s}=\frac{s}{e}}\\{\frac{{s}^{2}}{2e}=alns}\end{array}\right.$，解得lns=$\frac{1}{2}$，∴s²=e．
则a=1，
∴$\frac{s}{t}$=$\frac{\sqrt{e}}{ln\sqrt{e}}=2\sqrt{e}$．
故答案为：$2\sqrt{e}$．

点评 本题考查函数的导数、导数的几何意义、切线的斜率以及切线方程的求法，考查计算能力，是中档题．