Question

已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F（4，0），长轴端点到较近焦点的距离为1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）为椭圆上不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若x₁+x₂=8，在x轴上是否存在一点D，使|

DA

|=|

DB

|若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由中心在原点的椭圆C的一个焦点F（4，0），我们及确定c的值，再结合长轴端点到较近焦点的距离为1，我们可以求出a的值，进而求出b值后，即可得到椭圆的方程；
（2）若存在一点D，使|

DA

|=|

DB

|，根据垂直平分线的性质，则D一定在线段AB的垂直平分线上，根据已知我们设出AB中点坐标，再根据直线垂直的充要条件，构造方程，解方程即可得到D点的坐标．

解答：解：（1）由题设知c=4，a-c=1，∴a=5，b=3．
∴所求方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）假设存在点D（x₀，0），由|

DA

|=|

DB

|，
则点D在线段AB的中垂线上，
又线段AB的中点为(4，

y1+y2

2

)，
∴线段AB的中垂线方程为：
y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-4）．①
又

x 2 1

25

+

y 2 1

9

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

9

=1，
∴

x 2 1 - x 2 2

25

+

y 2 1 - y 2 2

9

=0．
∴

x1-x2

y1-y2

=-

25

9

•

y1+y2

8

．
在①中令y=0，∴-

y1+y2

2

=

25(y1+y2)

72

（x₀-4）．
∴x₀=

64

25

，∴存在点D为(

64

25

，0)．

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质及直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答此类问题的基础．