Question

（本小题满分14分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角的大小．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，    

又∵，

平面．……………………3分

平面，

． …………………………4分

平面．    ………………5分

 (Ⅱ)连结，

平面，

是直线与平面所成的角．           ……………………………5分

设，则

，，              ……………………………………………6分

，

．           

即直线与平面所成的角为．   …………………………………………8分

 (Ⅲ)过作于，连结．    ………………………………………9分

平面，

．

平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所设可得

，，

．             …………………………………………12分

．

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分

解法二: ∵四边形是正方形 ，

，

∵平面平面，

平面，                      ………………………………………2分

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则

，

是正方形的对角线的交点，

．…………………………………4分

 (Ⅰ) ，，，

，                 ………………………………………6分

平面．                      …………………………………7分

(Ⅱ) 平面，

为平面的一个法向量，         ……………………………………………8分

，

．        ……………………………………………9分

．

∴直线与平面所成的角为．      ………………………………………10分

 (Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，

且．

      即

取，则， 则．      ……………………………………………12分

又∵为平面的一个法向量，且，

，

设二面角的平面角为，则，

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分