Question

已知在x轴上有一点列：P₁（x₁，0），P₂（x₂，0），P₃（x₃，0），…，P_n（x_n，0），…，点P_n+2分有向线段

PnPn+1

所成的比为λ，其中n∈N^*，λ＞0为常数，x₁=1，x₂=2．
（1）设a_n=x_n+1-x_n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（λ）=

lim

n→∞

xn，当λ变化时，求f（λ）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的定比分点坐标公式写出x_n+2与x_n+1，x_n之间的关系式；再由a_n=x_n+1-x_n，求出a₁，再推出a_n和a_n+1的关系，说明是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式．
（2）由于x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1所以|-

1

1+λ

|＜1，利用等比数列的前n和的极限公式即可求得

lim

n→∞

x n，最后利用分离常数的方法即可求得f（x）的取值范围．

解答：解：（1）因为点P_n+2分有向线段

PnPn+1

所成的比为λ，
所以

PnPn+2

=λ

Pn+2Pn+1

，即由定比分点坐标公式得x_n+2=

xn+λxn+1

1+λ

．
∵a₁=x₂-x₁=1，
因为a_n+1=x_n+2-x_n+1=

xn+λxn+1

1+λ

-x_n+1
=-

1

1+λ

（x_n+1-x_n）=-

1

1+λ

a_n，
∴

an+1

an

=-

1

1+λ

，即{a_n}是以a₁=1为首项，-

1

1+λ

为公比的等比数列．
∴a_n=（-

1

1+λ

）^n-1．
（2）∵x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，
λ＞0，∴|-

1

1+λ

|＜1，

lim

n→∞

x n=1+

1

1+ 1 1+λ

=

2λ+3

λ+2

（12分）
∴当λ＞0时，f（λ）=

2(λ+2)-1

λ+2

=2-

1

λ+2

∈(

3

2

，2)（14分）

点评：本题考查线段的定比分点，数列递推式，数列的极限，考查逻辑思维能力，是中档题．