Question

19．有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上．
（1）若这个梯形上底为CD=2a，求它的腰长x；
（2）求出这个梯形的周长y关于腰长x的函数解析式，并指出它的定义域；
（3）求这个梯形周长的最大值，并求出当它最大时，梯形的面积S．

Answer 1

分析 （1）由题意利用等腰梯形、圆、勾股定理列出方程，能求出它的腰长．
（2）由腰长得$2a=\frac{{4-{x^2}}}{2}$，由此能求出求出这个梯形的周长y关于腰长x的函数解析式，并指出它的定义域．
（3）由二次函数性质能求出结果．

解答 解：（1）∵2²-a²=x²-（2-a）²
∴x²=8-4a，
∴它的腰长$x=\sqrt{8-4a}$…（4分）
（2）由（1）知：$2a=\frac{{4-{x^2}}}{2}$，
∴$y=2x+\frac{{4-{x^2}}}{2}+4=-\frac{1}{2}{x^2}+x+6$，
∵$a＞0∴x＜2\sqrt{2}$，∴定义域为$（0，2\sqrt{2}）$…（8分）
（3）由（2）知，x=1时，y最大
此时梯形的上底$2a=\frac{7}{2}$，高$h=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$S=\frac{1}{2}（\frac{7}{2}+4）•\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{15\sqrt{15}}}{16}$．

点评 本题考查函数在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．