Question

10．已知函数f（x）=2cos²x+sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；
（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=$\frac{3}{2}$，b+c=2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，从而可求函数f（x）的单调增区间；函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（2）由题意，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{3}{2}$，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知bc≤1，即a²≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得函数f（x）的单调增区间[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z），
函数f（x）的最大值为2．
当且仅当sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）时取到．
所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．…（6分）
（2）由题意，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{3}{2}$，化简得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵A∈（0，π），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc．
由b+c=2，知bc≤1，即a²≥1．
∴当b=c=1时，取等号．
又由b+c＞a得a＜2．
所以a的取值范围是[1，2 ）．…（12分）

点评 本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，余弦定理的应用，不等式的解法，属于中档题．