Question

求证：

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2n-1

2n

＜

1

2n+1

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：不等式的解法及应用

分析：直接利用数学归纳法证明数列不等式．

解答： 证明：当n=1时，左边=

1

2

，右边=

1

3

，左边＜右边，不等式成立；
假设当n=k（k≥1）时不等式成立，即

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2k-1

2k

＜

1

2k+1

，
那么，当n=k+1时，左边=

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2k-1

2k

×

2k+1

2k+2

＜

1

2k+1

×

2k+1

2k+2

=

2k+1

2k+2

．
要证

2k+1

2k+2

≤

1

2k+3

，只要证（2k+1）（2k+3）≤（2k+2）²，即证4k²+8k+3≤4k²+8k+4，
也就是证3≤4，此式显然成立．
故

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2k+1

2k+2

＜

1

2(k+1)+1

．
∴当n=k+1时结论成立．
综上所述，对于任意n∈N^*不等式成立．

点评：本题考查了数学归纳法证明数列不等式，利用数学归纳法证明数列不等式时，中间可穿插比较法、分析法和反证法等思想方法，是中档题．