Question

15．已知函数f（x）=x³+x²f'（1）．
（1）求f'（1）和函数x的极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=3x²+2f'（1）x，f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=-3，则f′（x）=3x（x-2），令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，由函数的单调性与导数的关系，即可求得f（x）的极值；
（2）由题意可知：y=a与f（x）有三个不同的交点，利用函数的图象即可求得实数a的取值范围；
（3）设切点（x₀，x₀³-3x₀²），斜线斜率k=3x₀²-6x₀，求得切线方程，由函数过（0，0），即可求得x₀，即可求得直线l的方程．

解答 解：（1）由f（x）=x³+x²f'（1），求导f′（x）=3x²+2f'（1）x，
则f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=-3，
∴f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，
由x，f′（x），f（x）变化，

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值0	↓	极小值-4	↑

则当x=0，f（x）取极大值0，当x=2时，取极小值-4；
（2）由题意可知：y=a与f（x）有三个不同的交点，
由函数图象可知：

∴-4＜a＜0，
（3）设切点（x₀，x₀³-3x₀²），切线斜率k=3x₀²-6x₀，
则切线方程y-（x₀³-3x₀²）=（3x₀²-6x₀）（x-x₀），
由切线过（0，0），则-x₀³+3x₀²=-x₀（3x₀²-6x₀），解得：x₀=0，或x₀=$\frac{3}{2}$，
当x₀=0，切线k=0，切线方程y=0，
当x₀=$\frac{3}{2}$，切点（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{8}$），切线k=-$\frac{9}{4}$，切线方程y=-$\frac{9}{4}$x，
直线l的方程y=0或y=-$\frac{9}{4}$x．

点评 本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题．