Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1时取得极大值

5

2

，求实数a，b的值；
（2）在（1）条件下，求函数的最大值和单调递增区间；
（3）若函数f（x）图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），由题意得：

f′(1)=-3+2a=0 f(1)=-1+a+b= 5 2

．解出并验证即可；
（2）利用（1）及其f′（x）＞0即可得出其单调递增区间，
（3）设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）是f（x）图象上两不同点，不妨设x₁＜x₂，则kAB=

y1-y2

x1-x2

＜1，可化为f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．设g（x）=f （x）-x，则g（x）=-x³+ax²-x+b在R上单调递减．即g'（x）=-3x²+2ax-1≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质即可得出．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，由题意得：

f′(1)=-3+2a=0 f(1)=-1+a+b= 5 2

．解得

a= 3 2 b=2

．
经验证f（x）在x=1时取得极大值．
∴

a= 3 2 b=2

．
（2）由（1）可知：f′（x）=-3x²+3x=-3x（x-1）．
由f′（x）＞0，解得0＜x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）．
f（x）无最大值．
（3）设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）是f（x）图象上两不同点，不妨设x₁＜x₂
则kAB=

y1-y2

x1-x2

＜1，∴y₁-y₂＞x₁-x₂，即y₁-x₁＞y₂-x₂
即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．
设g（x）=f （x）-x，则g（x）=-x³+ax²-x+b在R上单调递减．
∴g'（x）=-3x²+2ax-1≤0在R上恒成立，
∴△=（2a）²-12≤0，解得-

3

≤a≤

3

．
∴实数a的取值范围为[-

3

，

3

]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键．