已知f (x)＝mx(m为常数.m>0且m≠1)．设f (a1).f (a2).-.f (an).-(n∈N)是首项为m2.公比为m的等比数列．(1)求证:数列{an}是等差数列,(2)若bn＝an f (an).且数列{bn}的前n项和为Sn.当m＝3时.求Sn,(3)若cn＝ f(an) lg f (an).问是否存在m.使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）已知f (x)＝m^x(m为常数，m>0且m≠1)．设f (a₁)，f (a₂)，^…，f (a_n)，^…(n∈N)是首项为m²，公比为m的等比数列．
(1)求证：数列{a_n}是等差数列；
(2)若b_n＝a_nf (a_n)，且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m＝3时，求S_n；
(3)若c_n＝ f(a_n) lg f (a_n)，问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：　(1)由题意f (a_n)＝m²·mⁿ^-1，即ma_n＝mⁿ⁺¹.
∴a_n＝n＋1，∴a_n_＋1－a_n＝1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由题意b_n＝a_nf (a_n)＝(n＋1)·mⁿ⁺¹，
当m＝3时，b_n＝(n＋1)·3ⁿ⁺¹，∴S_n＝2·3²＋3·3³＋4·3⁴＋^…＋(n＋1)·3ⁿ⁺¹①
①式两端同乘以3得，3S_n＝2·3³＋3·3⁴＋4·3⁵＋^…＋n·3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²②
②－①并整理得，
2S_n＝－2·3²－3³－3⁴－3⁵－^…－3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－3²－(3²＋3³＋3⁴＋^…＋3ⁿ⁺¹)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²
＝－3²－

＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－9＋

(1－3ⁿ)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝(n＋

)3ⁿ⁺²－

.
∴S_n＝

(2n＋1)3ⁿ⁺²－

.
(3)由题意c_n＝f (a_n)·lg f (a_n)＝mⁿ⁺¹·lgmⁿ⁺¹＝(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm，
要使c_n≥c_n_＋1对一切n∈N^*成立，即(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm≥(n＋2)·mⁿ⁺²·lgm，对一切n∈N^*成立，
① 当m>1时

，lgm>0，所以n＋1≥m(n＋2)，即m≤

对一切n∈N^*成立，
因为

＝1－

的最小值为

，所以m≤

，与m>1不符合，即此种情况不存在.
②当0<m<1时，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥

对一切n∈N^*成立，所以

≤m<1.
综上，当

≤m<1时，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项

略

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