Question

给定抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．

(1)设l的斜率为1，求与的夹角的大小；

(2)设＝λ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y＝x－1． 　　将y＝x－1代入方程y2＝4x，并整理得x2－6x＋1＝0． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝6，x1x2＝1．·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2x1x2(x1＋x2)＋1＝－3． 　　||||＝·＝＝． 　　cos(，)＝＝－． 　　所以与夹角的大小为π－arccos． 　　(2)由题设＝λ 　　得(x2－1，y2)＝λ(1－x1，－y1)， 　　即 　　由②得y22＝λ2y12，∵y12＝4x1，y22＝4x2， 　　∴x2＝λ2x1．③联立①、③解得x2＝λ，依题意有λ＞0． 　　∴B(λ，2)，或B(λ，－2)，又F(1，0)，得直线l方程为 　　(λ－1)y＝2(x－1)或(λ－1)y＝－2(x－1)， 　　当λ∈[4，9]时，l在方程y轴上的截距为或－， 　　由＝＋，可知在[4，9]上是递减的， 　　∴≤≤，－≤－≤－， 　　直线l在y轴上截距的变化范围为[－，－]∪[，]． 　　分析：本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力．