Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足：，若b_n＜M对任意的n∈N^*恒成立，求M的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得：nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1）即 …（2分）
∴是等差数列，首项为2，公差为1，∴S_n=n²+n…（4分）
∴a_n=S_n-S_n-1=2n当n=1时，a₁=2也适合上式∴a_n=2n…（6分）
（2）由（1）得，…（7分）
∵，…（8分）
∴当n=1时，b₁＜b₂当n=2时，b₂=b₃，当n≥3时，b_n＞b_n+1
∴第二、三项取最大值为，…（10分）
∵b_n＜M对任意的n∈N^*恒成立，∴b_n的最大值小于M，∴．
所以，M的取值范围．…（12分）
分析：（1）通过a_n+1=S_n+1-S_n化简数列na_n+1=S_n+n（n+1），等号两边同除n+1），即可怎么数列是等差数列，求出数列{a_n}的首项与公差，即可得到通项公式；
（2）通过（1）求出的表达式，若b_n＜M对任意的n∈N^*恒成立，只需求出数列{b_n}中的最大项，即可求M的取值范围．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式与数列中最大项的求法，考查计算能力，转化思想，分类讨论的应用．