Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），点P的坐标为（x₀，y₀）．
（1）如P（x₀，y₀）为椭圆C内一点，直线L与C相交于A，B两点，且P（x₀，y₀）为线段AB的中点，求直线L方程；
（2）如P（x₀，y₀）为椭圆C上一点，求过P点的切线方程，并比较此方程与（1）问中直线L方程的表达式有何关系；
（3）如P（x₀，y₀）为椭圆外一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求过A，B的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设出AB坐标，利用平方差法求出AB 的斜率，然后求解直线方程．
（2）直接写出切线方程，然后比较两条直线的位置关系．
（3）首先求出过椭圆上任意一点的切线方程，得到过椭圆的两条切线切点为P₁，P₂的切线方程，结合两直线均过P（x₀，y₀），可得 $\frac{{{x}_{0}x}_{1}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{1}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{0}x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{2}}{{b}^{2}}$=1．由此说明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在直线 $\frac{{xx}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{0}}{{b}^{2}}$=1上．即可得到切点弦AB所在的直线方程．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB是椭圆上的点，
可得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，两式作差化简可得：$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{{b}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
直线L方程：y-y₀=$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀）．即：${b}^{2}{x}_{0}x+{a}^{2}{y}_{0}y={a}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}$．
（2）P（x₀，y₀）为椭圆C上一点，求过P点的切线方程为：$\frac{x•{x}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{y•{y}_{0}}{{b}^{2}}=1$．即${b}^{2}{x}_{0}x+{a}^{2}{y}_{0}y={a}^{2}{b}^{2}$，
过P点的切线方程与（1）问中直线L方程的表达式是平行线．
（3）设M（m，n）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上一点，
当M在x轴上方时，
由$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1得y=$y=\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$，y′=-$\frac{b}{a}$•$\frac{x}{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$，
过M点的椭圆的切线的斜率k=y′|_x=m=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{m}{n}$．
由点斜式得：y-n=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{m}{n}$（x-m），
b²mx+a²ny=b²m²+a²n²=a²b²，
即$\frac{mx}{{a}^{2}}+\frac{ny}{{b}^{2}}$=1．
当M点是椭圆与x轴的两交点时，上式显然成立，
当M在x轴下方时，由对称性可知过M点的椭圆的切线的方程为 $\frac{mx}{{a}^{2}}+\frac{ny}{{b}^{2}}$=1．
综上可知，过M点的椭圆的切线的方程为 $\frac{mx}{{a}^{2}}+\frac{ny}{{b}^{2}}$=1．
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由上可知，过A的切线方程为$\frac{{xx}_{1}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{1}}{{b}^{2}}$=1，
过B的切线方程为 $\frac{{xx}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{2}}{{b}^{2}}$=1．
又两切线均过P（x₀，y₀），
∴$\frac{{{x}_{0}x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{0}x}_{1}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{1}}{{b}^{2}}$=1．
说明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在直线 $\frac{{xx}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{0}}{{b}^{2}}$=1上．
∵过两点的直线唯一，
∴切点弦AB所在的直线方程为：$\frac{{xx}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{0}}{{b}^{2}}$=1．

点评 本题考查了直线与椭圆的关系，考查了椭圆的切点弦方程的求法，训练了统一法求曲线的方程，是压轴题．