Question

已知数列{a_n}满足．
（1）是否存在实数λ，使数列为等差数列？并说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求证：．

Answer 1

（1）解：假设存在一个实数λ符合题意，则-必为与n无关的常数
∵-=
要使-是与n无关的常数，则1+λ=0，∴λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列为等差数列；
（2）解：由（1）知，数列{}为首项为2，公差为1的等差数列
∴=n+1，∴
∴+n
令①
∴②
②-①可得+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-2-+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n
（3）证明：当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=…+≥n+2
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，
∴≤=
∴+…+=＜
∴
分析：（1）假设存在一个实数λ符合题意，则-必为与n无关的常数，由此可求实数λ的值；
（2）由（1）知，数列{}为首项为2，公差为1的等差数列，从而可得数列{a_n}的通项，利用错位相减法可求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=…+≥n+2，从而可得S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，取倒数，放缩再裂项求和，即可证得结论．
点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和是关键．