Question

已知数列{a_n}满足：{

an

n

}是公差为1的等差数列，且a_n+1=

n+2

n

an+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=

1

4 an

(n∈N*），求证：b₁+b₂+…+b_n＜2

n

-1．

Answer 1

分析：（1）由于{

an

n

}是公差为1的等差数列，可得

an+1

n+1

-

an

n

=1，又a_n+1=

n+2

n

an+1，化简可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）b_n=

1

4 an

=

1

n

=

2

2 n

＜

2

n + n-1

=2(

n

-

n-1

)，从而可利用叠加法求解可得．

解答：解：（1）∵{

an

n

}是公差为1的等差数列，∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，∵a_n+1=

n+2

n

an+1，∴a_n=n²；
（2）b_n=

1

4 an

=

1

n

=

2

2 n

＜

2

n + n-1

=2(

n

-

n-1

)，∴b₁+b₂+…+b_n＜=2(1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

)＜2

n

-1．，

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查放缩法及叠加法求和，属于基础题．