Question

四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E点满足＝.

(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－D的大小；

(Ⅲ)在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：(Ⅰ)证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC   又∵PB⊥BC　∴BC⊥面PAB　∴BC⊥PA

同理CD⊥PA　∴PA⊥面ABCD                         

(Ⅱ)在AD上取一点O使AO＝AD，连接E，O，则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　过点O做

OH⊥AC交AC于H点，连接EH，则EH⊥AC，从而∠EHO为二面角E－AC－D的平面角  

在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

∴HO＝AOsin45°＝·＝，∴tan∠EHO＝＝2，

∴二面角E－AC－D等于arctan2                                  

(Ⅲ)当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下：

∵AD∥2FC，∴＝＝，又由已知有＝，∴PF∥ES

∵PF面EAC，EC⊂面EAC　∴PF∥面EAC，