Question

3．已知点P（$\sqrt{3}$，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$=（$\sqrt{3}$，1）•（$\sqrt{3}$-cosx$\sqrt{3}$，1-sinx）
=-$\sqrt{3}$cosx-sinx+4=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）+4，
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=$\frac{2π}{3}$，
又∵BC=3，
∴9=（b+c）²-bc．
∵bc≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，
∴$\frac{3（b+c）^{2}}{4}≤9$，
∴b+c≤2$\sqrt{3}$，当且仅当b=c取等号，
∴三角形周长最大值为3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．