Question

18．设点M到坐标原点的距离和它到直线l：x=-m（m＞0）的距离之比是一个常数$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求点M的轨迹；
（Ⅱ）若m=1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P（-2，0）的直线l₁与曲线E交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F（1，0）的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q，设$\overrightarrow{AF}$=α$\overrightarrow{FD}$，$\overrightarrow{BF}$=β$\overrightarrow{FQ}$，α、β∈R，求α+β的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两点之间的距离公式，求得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨x+m丨，整理即可求得点M的轨迹；
（Ⅱ）当m=1时，求得E的方程，根据向量的坐标运算，求得α=3-2x，β=3-2x₂，设直线l₁的方程为y=k（x+2）代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，则α+β=3-2x₁+3-2x₁=6-2（x₁+x₂），由韦达定理即可求得α+β的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）过M作MH⊥l，H为垂足，设M的坐标为（x，y），则丨OM丨=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，丨MH丨=丨x+m丨，
由丨OM丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨MH丨，则$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨x+m丨，整理得：$\frac{1}{2}$x²+y²-mx-$\frac{1}{2}$m²=0，
∴$\frac{（x-m）^{2}}{2{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}=1$，
显然点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；
（Ⅱ）当m=1时，则曲线C的方程是：$\frac{（x-1）^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
故曲线E的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），
$\overrightarrow{AF}$=（1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FD}$=（x₃-1，y₃），$\overrightarrow{AF}$=α$\overrightarrow{FD}$，则-y₁=αy₃，
则α=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{3}}$，
当AD与x轴不垂直时，直线AD的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），即x=$\frac{（{x}_{1}-1）+{y}_{1}}{{y}_{1}}$，代入曲线E方程，
$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}=1$，整理得：（3-2x₁）y²+2y₁（x₁-1）y-y₁²=0，y₁y₃=-$\frac{{y}_{1}^{2}}{3-2{x}_{1}}$，-$\frac{{y}_{1}}{{y}_{3}}$=3-2x₁，则α=3-2x，
当AD与x轴垂直时，A点的横坐标x₁=1，α=1，
显然α=3-2x₁也成立，
同理可得：β=3-2x₂，
设直线l₁的方程为y=k（x+2），代入$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，
由k≠0，则△=（8k²）2-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
解得：0＜k²＜$\frac{1}{2}$，
由x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
则α+β=3-2x₁+3-2x₁=6-2（x₁+x₂）=14-$\frac{8}{2{k}^{2}+1}$，
∵α+β∈（6，10），
∴α+β的取值范围（6，10）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．