Question

10．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）

• A． c^a＞c^b
• B． a^c＜b^c
• C． $\frac{a}{a-c}＞\frac{b}{b-c}$
• D． log_ac＞log_bc

Answer 1

分析 根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=c^x，由指数函数的性质分析可得A错误，对于B、构造函数y=x^c，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析选项：
对于A、构造函数y=c^x，由于0＜c＜1，则函数y=c^x是减函数，又由a＞b＞1，则有c^a＞c^b，故A错误；
对于B、构造函数y=x^c，由于0＜c＜1，则函数y=x^c是增函数，又由a＞b＞1，则有a^c＞b^c，故B错误；
对于C、$\frac{a}{a-c}$-$\frac{b}{b-c}$=$\frac{ab-ac-ab+bc}{（a-c）（b-c）}$=$\frac{c（b-a）}{（a-c）（b-c）}$，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a-c）＞0、（b-c）＞0、（b-a）＜0，进而有$\frac{a}{a-c}$-$\frac{b}{b-c}$＜0，故有$\frac{a}{a-c}$＜$\frac{b}{b-c}$，故C错误；
对于D、log_ac-log_bc=$\frac{lgc}{lga}$-$\frac{lgc}{lgb}$=lgc（$\frac{lgb-lga}{lga•lgb}$），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有log_ac-log_bc=$\frac{lgc}{lga}$-$\frac{lgc}{lgb}$=lgc（$\frac{lgb-lga}{lga•lgb}$）＞0，即有log_ac＞log_bc，故D正确；
故选：D．

点评 本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．