Question

已知点（x，y）是区域

x+2y≤2n x≥0 y≥0

，（n∈N^*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z_n．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据线性规划原理，可得z的最大值z_n=2n，从而得到S_n=2n-a_n．运用数列前n项和S_n与a_n的关系，算出2a_n=a_n-1+2，由此代入数列{a_n-2}再化简整理，即可得到{a_n-2}是以-1为首项，公比q=

1

2

的等比数列；
（II）由（I）结合等比数列通项公式，得出a_n=2-（

1

2

）^n-1，从而得到S_n=2n-2+（

1

2

）^n-1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{S_n}的前n项和T_n的表达式．

解答：解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，
区域

x+2y≤2n x≥0 y≥0

，（n∈N^*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，
∴当x=2n，y=0时，z的最大值z_n=2n
∵（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上
∴z_n=S_n+a_n，可得S_n=2n-a_n，
当n≥2时，可得a_n=S_n-S_n-1=（2n-a_n）-[2（n-1）-a_n-1]
化简整理，得2a_n=a_n-1+2
因此，a_n-2=

1

2

（a_n-1+2）-2=

1

2

（a_n-1-2）
当n=1时，a_n-2=a₁-2=-1
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，公比q=

1

2

的等比数列；
（Ⅱ）由（I）得a_n-2=-（

1

2

）^n-1，
∴a_n=2-（

1

2

）^n-1，可得S_n=2n-a_n=2n-2+（

1

2

）^n-1，
∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得
Tn=[0+(

1

2

)0]+[2+(

1

2

)]+…+[2n-2+(

1

2

)n-1]

=[0+2+…+(2n-2)]+[( 1 2 )0+( 1 2 )+…+( 1 2 )n-1] = n(2n-2) 2 + 1-( 1 2 )n 1- 1 2 =n2-n+2-( 1 2 )n-1

即数列{S_n}的前n项和T_n=n2-n+2-(

1

2

)n-1，（n∈N^*）．

点评：本题给出数列和线性规划相综合的问题，求数列的通项和前n项和，着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和与简单线性规划等知识，属于中档题．