Question

（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是

a2+b2

的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(

2

，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为

3

．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，求l₁，l₂的方程；
（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求

AB

•

AD

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出；
（2）先求出点P的坐标，设出与椭圆相切的直线的方程，并与椭圆的方程联立，利用△=0即可求出切线的斜率，进而可 求出直线l₁，l₂的方程；
（3）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出

AD

•

AB

，再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围．

解答：解：（1）由题意可得：a=

3

，c=

2

，b=1，∴r=

( 3 )2+12

=2．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，其“准圆”的方程为x²+y²=4；
（2）由“准圆”的方程为x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取P（2，0），
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2，
联立

my=x-2 x2 3 +y2=1

，消去x得到关于y的一元二次方程（3+m²）x²+4m+1=0，
∴△=16m²-4（3+m²）=0，解得m=±1，
故直线l₁、l₂的方程分别为：y=x-2，y=-x+2．
（3）由“准圆”的方程为x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x₀，y₀），则D（x₀，-y₀）．
∴

AB

•

AD

=（x₀-2，y₀）•（x₀-2，-y₀）=(x0-2)2-y02，
∵点B在椭圆

x2

3

+y2=1上，∴

x02

3

+y02=1，∴y02=1-

x02

3

，
∴

AD

•

AB

=(x0-2)2-1+

x02

3

=

4

3

(x0-

3

2

)2，
∵-

3

＜x0＜

3

，
∴0≤

4

3

(x0-

3

2

)2＜7+4

3

，
∴0≤

AD

•

AB

＜7+4

3

，即

AD

•

AB

的取值范围为[0，7+4

3

)

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义及性质、直线与圆锥曲线相切问题的解法、斜率的数量积的定义是解题的关键．