Question

如图，在y轴的正半轴上依次有点A₁，A₂，…，A_n，…其中点A₁（0，1），A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，…点B₁的坐标为（3，3），且（n=2，3，4，…）
（1）用含n的式子表示|A_nA_n+1|；
（2）用含n的式子表示A_n，B_n的坐标；
（3）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一个等比关系，故有公式求其通项即可；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为A_n的纵坐标，由（n=2，3，4，…）知{|OB_n|}是以为首项，为公差的等差数列，故可求得|OB_n|的值，再由
在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐标；
（3）根据四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差，确定其单调性，然后求出最大值．
解答：解：（1）∵，∴
（2）由（1）得
∴点A_n的坐标，∵
∵{|OB_n|}是以为首项，为公差的等差数列
∴
∴B_n的坐标为（2n+1，2n+1）
（3）连接A_nB_n+1，设四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积为S_n，则=，
∴，即S_n+1＜S_n，
∴{S_n}单调递减．∴S_n的最大值为．
点评：本题是一个数列应用题，也是等差等比数列的一个综合题，本题有着一个几何背景，需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法．本题是个难题，比较抽象．