Question

如图，在y轴的正半轴上依次有点A₁，A₂，…，A_n，…其中点A₁（0，1），A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，…点B₁的坐标为（3，3），且|OBn|=|OBn-1|+2

2

（n=2，3，4，…）
（1）用含n的式子表示|A_nA_n+1|；
（2）用含n的式子表示A_n，B_n的坐标；
（3）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一个等比关系，故有公式求其通项即可；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为A_n的纵坐标，由|OBn|=|OBn-1|+2

2

（n=2，3，4，…）知{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列，故可求得|OB_n|的值，再由
在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐标；
（3）根据四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差Sn+1-Sn=

3-6n

3n-1

＜0，确定其单调性，然后求出最大值．

解答：解：（1）∵

|AnAn+1|

|An-1An|

=

1

3

，且|A1A2|=10-1=9，∴|AnAn+1|=|A1A2|(

1

3

)n-1=9(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-3
（2）由（1）得|A1A2|+|A2A3|+…+|An-1An|=9+3+1+…+(

1

3

)n-4=

27

2

-

1

2

(

1

3

)n-4
∴点A_n的坐标(0，

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-4)，∵|OBn|-|OBn-1|=2

2

且|OB1|=3

2

∵{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列
∴|OBn|=3

2

+(n-1)2

2

=(2n+1)

2

∴B_n的坐标为（2n+1，2n+1）
（3）连接A_nB_n+1，设四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积为S_n，则Sn=S△AnAn+1Bn+1+S△BnBn+1An=

1

2

[(

1

3

)n-3]•(2n+3)+

1

2

•2

2

•[

29

2

-

27

2

(

1

3

)n-1]

2

2

=

29

2

+

9n

3n-1

，
∴Sn+1-Sn=

3-6n

3n-1

＜0，即S_n+1＜S_n，
∴{S_n}单调递减．∴S_n的最大值为S1=

29

2

+9=

47

2

．

点评：本题是一个数列应用题，也是等差等比数列的一个综合题，本题有着一个几何背景，需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法．本题是个难题，比较抽象．