Question

定义在[1，64]上的函数f（x）=log₂x-1，函数g（x）=-f²（x）+f（x³）
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最值以及取最值时相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可得

1≤x≤64 1≤x3≤64

，求出x的范围，即可得到函数的定义域．
（2）先由条件求得g（x）的解析式为-lo

g

2 2

x+5log2x-2=-(u-

5

2

)2+

17

4

=?(u)，x∈[1，4]，u=log₂x∈[0，2]，故?（u）在[0，2]上单调递增，由此利用二次函数的单调性求得函数g（x）的最值以及取最值时相应的x的值．

解答：解：（1）由已知条件可得

1≤x≤64 1≤x3≤64

，可得1≤x≤4，故函数g（x）的定义域为[1，4]．…（4分）
（2）∵g(x)=-(log2x-1)2+log2x3-1=-lo

g

2 2

x+5log2x-2=-u2+5u-2=-(u-

5

2

)2+

17

4

=?(u)，x∈[1，4]，u=log₂x∈[0，2]，
∴?（u）在[0，2]上单调递增．
当u=log₂x=0，即x=1时，g_min（x）=?（0）=-2；
当u=log₂x=2，即x=4时，g_max（x）=?（2）=4．…（10分）

点评：本题主要考查求函数的定义域，二次函数的性质应用，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题．