Question

设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径

• A、成正比，比例系数为C
• B、成正比，比例系数为2C
• C、成反比，比例系数为C
• D、成反比，比例系数为2C

Answer 1

分析：求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出

c

R(t)R′(t)

=4πR(t)，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．

解答：解：由题意可知球的体积为V(t)=

4

3

πR3(t)，则c=V′（t）=4πR²（t）R′（t），由此可得

c

R(t)R′(t)

=4πR(t)，
而球的表面积为S（t）=4πR²（t），
所以V_表=S′（t）=4πR²（t）=8πR（t）R′（t），
即 V_表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R^′（t）=

2c

R(t)R′(t)

R′(t) =

2c

R(t)

故选D

点评：本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．