Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N₊），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，∵数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N₊），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n．
∴S_n=2a_n-3n①，S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②
②-①化简可得a_n+1=2a_n+3，…（3分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴数列{a_n+3}是公比为2的等比数列
∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3
∴a₁+3=3+3=6
∴
∴ …（6分）
（2）设存在s，p，r∈N₊且s＜p＜r，使a_s，a_p，a_r成等差数列，…（7分）
∴2a_p=a_s+a_r，即 2（3×2^p-3）=（3×2^s-3）+（3×2^r-3）
∴2^p+1=2^s+2^r
∴2^p-s+1=2^r-s+1 （*） …（10分）
∵s、p、r∈N₊且s＜p＜r
∴2^p-s+1、2^r-s为偶数
∵1+2^r-s为奇数，（*）式产生矛盾．所以这样的三项不存在．…（13分）
分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N₊），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n，可得S_n=2a_n-3n，再写一式，两式相减，整理可得数列{a_n+3}是公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）设存在s，p，r∈N₊且s＜p＜r，使a_s，a_p，a_r成等差数列，可得出2^p-s+1=2^r-s+1，利用2^p-s+1、2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，即可得出结论．
点评：本题考查数列的通项，考查数列与汗水的关系，考查构造法求等比数列，考查存在性问题的探究，有综合性．