Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于

10

时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证k_OA•k_OB=-1；②取AB中点M，证|OM|=

1

2

|AB|．
（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S_△OAB=

1

2

|AB|•h（h为O到AB的距离）；②设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线和x轴交点为N，利用S_△OAB=

1

2

|AB|•|y₁-y₂|．

解答：解：（1）由方程y²=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky²+y-k=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韦达定理y₁•y₂=-1．
∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

=-1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=

1

2

|ON||y₁|+

1

2

|ON||y₂|
=

1

2

|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=

1

2

•1•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

( 1 k )2+4

．
∵S_△OAB=

10

，
∴

10

=

1

2

1 k2 +4

．解得k=±

1

6

．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定．当然，这里消去x是最简捷的．