Question

（本题满分12分） 已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线，被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．
（I）求圆的方程；
（II）设，若圆是的内切圆，求△的面积
的最大值和最小值.

Answer 1

（I）,即圆.
（II）S(max)=6(1  +   1/4 )=15/2  ，S(min)="6(1+" 1/8)=27/4

本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．
（I）设圆心M（a，0），利用M到l：8x-6y-3=0的距离，求出M坐标，然后求圆M的方程；
（II）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．
解：,即.设圆心，弦长的一半为，半径，
故到直线的距离，又，所以，解得或，即.又因为在下方，所以,即圆.
（II）设直线AC、BC的斜率分别为，易知，即，则
直线AC的方程为，直线BC的方程为，联立解得点C横坐标为，
因为，所以△ABC的面积.
∵AC、BC与圆M相切,   ∴圆心M到AC的距离，解得，
圆心M到BC的距离，解得.
所以， 
∵-5≤t≤-2    ∴-2≤t+3≤1   ∴0≤(t+3)²≤4
∴-8≤t²+6t+1＝ (t+3)²-8≤-4    ∴S(max)=6(1  +   1/4 )=15/2  
S(min)="6(1+" 1/8)=27/4