Question

如图所示，在四凌锥E-ABCD中，AD⊥平面ABE，四边形ABCD为矩形，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求三棱椎C-BGF的体积．

Answer 1

分析：（1）根据AD⊥平面ABE且AD∥BC，得BC⊥平面ABE，从而得出AE⊥BC，由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，利用线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面BCE；
（2）连接GF，由BF⊥面ACE得BF⊥CE，结合BE=BC证出F为EC的中点．结合在矩形ABCD中G为AC中点，利用三角形的中位线证出GF∥AE，最后利用线面平行的判定定理，即可证出AE∥平面BFD；
（3）由前面的证明可得GF⊥平面BCF，得GF是三棱锥G-BCF的高．Rt△BCE中算出S_△BCF=

1

2

S△BCE=1，结合GF=

1

2

AE=1，利用锥体体积公式算出三棱锥G-BCF的体积，即可得到三棱椎C-BGF的体积．

解答：解：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC．
∴BC⊥平面ABE，结合AE?平面ABE，得AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，AE?面ACE，∴AE⊥BF，
∵BC、BF是平面BCE内的相交直线，∴AE⊥平面BCE；
（2）连接GF．
∵BF⊥面ACE，CE?面ACE，∴BF⊥CE．
∵△BCE中，BE=BC，∴F为EC的中点．
∵矩形ABCD中，对角线AC∩BD=G，∴G为AC中点，
因此，GF是△ACE的中位线，可得GF∥AE．
∵AE?面BFD，GF?面BFD，∴AE∥面BFD；
（3）∵AE⊥平面BCE，GF∥AE，∴GF⊥平面BCE，即GF⊥平面BCF，
因此，GF是三棱锥G-BCF的高．
∵Rt△BCE中，EB=BC=2，F为CE的中点，∴S_△BCF=

1

2

S△BCE=1，
∵GF=

1

2

AE=1，∴三棱锥G-BCF的体积为V_G-BCF=

1

3

×S_△BCF×GF=

1

3

，
即三棱椎C-BGF的体积V=V_G-BCF=

1

3

．

点评：本题着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质以及锥体体积的求法等知识，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．