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四棱锥P-ABCD的三视图如图所示.
(1)在四凌锥中,E为线段PD的中点,求证:PB∥平面AEC;
(2)在四凌锥中,F为线段PA上的点,且
PFFA
,则λ为何值时,PA⊥平面DBF?并求此时几何体F-BDC的体积.
分析:(1)根据题中的三视图作出四棱锥P-ABCD的直观图,设AC、BD交点为O,连结OE,利用三角形中位线定理证出OE∥PB,再由线面平行判定定理,即可,证出PB∥平面AEC;
(2)过O作OF⊥PA于F,根据题中数据在Rt△POA中算出PF=
1
2
,AF=
3
2
,从而得出λ=
PF
FA
=
1
3
.由线面垂直判定定理,证出PA⊥平面BFD.作FH∥PO交AO于H,可得FH⊥平面BCD,由λ=
1
3
算出FH的长,利用锥体的体积公式加以计算,即可得出此时几何体F-BDC的体积.
解答:解:(1)根据题中的三视图,作出四棱锥P-ABCD的直观图,如图所示.
连结AC、BD,设AC、BD交点为O,连结OE
∵OE是△PBD的中位线,∴OE∥PB,
∵OE?平面AEC,PB?平面AEC,∴PB∥平面AEC;
(2)过O作OF⊥PA于F,
在Rt△POA中,PO=1,AO=
3
,PA=2
∴PF=
PO2
PA
=
1
2
,AF=
3
2
,λ=
PF
FA
=
1
3

∵PA⊥BD,BD∩FO=O,∴PA⊥平面BFD.
PF
FA
=
1
3
时,在△PAO中作FH∥PO,交AO于H,则FH⊥平面BCD,
∵FH∥PO,得FH=
3
4
PO
=
3
4

∴三棱锥F-BDC的体积V=
1
3
S△BCD•FH
=
1
3
×
3
×
3
4
=
3
4
点评:本题给出几何体的三视图,求证几何体中线面平行并求锥体的体积.着重考查了线面平行判定定理、线面垂直的判定与性质和锥体体积求法等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
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精英家教网如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,侧面PBC内有BE⊥PC于E,且BE=
6
3
a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.

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(1)PA∥平面BDE;
(2)平面EBD⊥平面PAC;
(3)若PA=AB=4,求四棱锥P-ABCD的全面积.

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正四棱锥P-ABCD的高为PO,若Q为CD中点,且
OQ
=
PQ
+x
PC
+y
PA
(x,y∈R)
则x+y=
-1
-1

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精英家教网已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则这个四棱锥的体积为(  )
A、
1
3
B、1
C、
2
3
D、
4
3

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