Question

如图：三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若是的中点，求：

（1）三棱锥P-ABC的体积；

（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

（1）2;（2）．

【解析】

试题分析：（1）欲求三棱锥P-ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出 的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入 中，求出角即可．

试题解析：（1）因为底面，与底面所成的角为

所以 , 因为，所以

（2）连接，取的中点，记为，连接，则

所以为异面直线与所成的角

计算可得：，，

异面直线与所成的角为．

考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．