Question

已知a，b，c均为正实数，记M=max{

1

ac

+b，

1

a

+bc，

a

b

+c}，则M的最小值为

2

．

Answer 1

分析：先根据c的范围，讨论第一个数和第二个数的大小关系．在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定M的范围，即可得解

解答：解：由题意知M≥

1

ac

+b＞0，M≥

1

a

+bc＞0，M≥

a

b

+c＞0
∵(

1

ac

+b)c=

1

a

+bc＞0
①当c≥1时，

1

a

+bc≥

1

ac

+b＞0
∴只需考虑M≥

1

a

+bc，M≥

a

b

+c
∴M≥

1

a

+bc≥

1

a

+b≥2

b a

，M≥

a

b

+c≥

a

b

+1≥2

a b

∴M2≥2 

b a

×2

a b

=4
∴M≥2，当a=b=c=1时取等号
②当c＜1时，0＜

1

a

+bc＜

1

ac

+b，只需考虑M≥

1

ac

+b，M≥

a

b

+c
∴M2≥(

1

ac

+b)(

a

b

+c)=a+

1

a

+

1

bc

+bc≥2

a× 1 a

+2

1 bc ×bc

=4
∴M≥2
∴M的最小值为2
故答案为：2

点评：本题考查不等式不比较大小，同时考查均值不等式和不等式的性质，须特别注意同向不等式的应用和均值不等式的条件．属中档题