Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线C1：

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），C2：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=

π

3

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求

4a+1

+

4b+1

+

4c+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）先求出矩阵M，然后利用特征多项式建立方程求出它的特征值，最后分别求出特征值所对应的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩阵M的逆矩阵，然后利用点在矩阵M^-1的作用下的点的坐标，化简代入椭圆方程求出新的曲线方程．
（2）（Ⅰ）先写出C₁的普通方程和C₂的普通方程为x²+y²=1．联立方程组即可解得C₁与C₂的交点；
（Ⅱ）C₁的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），从而得出当α变化时，P点轨迹的参数方程即可．
（3）根据柯西不等式(1•

4a+1

+1•

4b+1

+1•

4c+1

)≤(12+12+12)•（4a+1+4b+1+4c+1）直接求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由条件得矩阵M=

2 0 0 3

，
它的特征值为2和3，对应的特征向量为

1 0

及

0 1

；（4分）
（Ⅱ）M-1=

1 2 0 0 1 3

，椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．（7分）
（2）（Ⅰ）当α=

π

3

时，C₁的普通方程为y=

3

(x-1)，
C₂的普通方程为x²+y²=1．联立方程组

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁与C₂的交点为（1，0），(

1

2

，-

3

2

)．（4分）
（Ⅱ）C₁的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：

x= 1 2 sin2α y=- 1 2 sinαcosα

（α为参数）（7分）
（3）由柯西不等式得
(1•

4a+1

+1•

4b+1

+1•

4c+1

)≤(12+12+12)•（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=2（15分）
当且仅当a=b=c=

1

3

时等号成立
故

4a+1

+

4b+1

+

4c+1

的最大值为

21

．（7分）

点评：本题主要考查来了逆变换与逆矩阵，以及圆的参数方程和直线的参数方程，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．