Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，记A ₁B₁ 的中点为E，平面C₁ EC  与 AB₁ C₁ 的交线为l，则直线l与 AC所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 取AB中点D，连结CD，ED，ED∩AB₁=F，连结EF，则C₁F即为平面C₁ EC 与 AB₁ C₁ 的交线l，以C 为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用利用向量法能求出直线l与 AC所成角的余弦值．

解答 解：取AB中点D，连结CD，ED，ED∩AB₁=F，连结EF，
则C₁F即为平面C₁ EC 与 AB₁ C₁ 的交线l，
以C 为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（0，0，0），
C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），F（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），
设直线l与 AC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}F}•\overrightarrow{CA}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}F}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴直线l与 AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．