Question

如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，且CE=λAF（λ＞1）．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，求二面角B-EF-D的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一：通过证明BD⊥平面ACEF，然后证明：BD⊥EF；方法二：通过空间向量的数量积为0，证明垂直关系．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用cos＜

DB

，

n

＞=

DB • n

| DB || n |

，求二面角B-EF-D的最小值．

解答：解：（Ⅰ）证明：方法1：
连接AC．∵ABCD是正方形∴BD⊥AC            （2分）
∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD                       （4分）
∴BD⊥平面ACEF                                （6分）
∴BD⊥EF                               （7分）
方法2：
如图建立空间直角坐标系A-xyz
∵B（1，0，0），D（0，1，0）∴

BD

=（-1，1，0）（2分）
设F（0，0，h），那么E（1，1，λh），（4分）
则

EF

=（-1，-1，h-hλ）                                       （5分）
∴

BD

•

EF

=0∴BD⊥EF．（7分）
（Ⅱ）∵B（1，0，0），F（0，0，0），E（1，1，λ）
∴

BF

=(-1，0，1)，

BE

=(0，1，λ)
则平面BEF的法向量是

n

=(1，-λ，1)                                （9分）
平面ACEF的法向量是

DB

=(1，-1，0)                                 （10分）
∴cos＜

DB

，

n

＞═

DB • n

| DB || n |

=

λ+1

2 • λ2+2

=

2

2

•

1+ 2λ-1 λ2+2

  令2λ-1=t，
cos＜

DB

，

n

＞=

2

2

•

1+ 4t t2+2t+9

=

2

2

•

1+ 4 t+ 9 t +2

≤

3

2

  （13分）
由图形的对称性可知，二面角B-EF-D的最小值为60°．            （15分）

点评：本题考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的求法，考查转化思想计算能力．